statistik 3

BAB III
UKURAN GEJALA PUSAT
Seperti telah disebutkan di muka bahwa untuk memudahkan dan mempercepat pemahaman data, disamping disusun distribusi frekuensi juga dicari nilai-nilai atau ukuran-ukuran statistiknya. Ukuran-ukuran kemencengan atau ukuran simetris tidaknya suatu distribusi dan ukuran tumpul atau runcingnya suatu kurva. Yang akan dibicarakan dalam bab ini adalah ukuran-ukuran gejala pusat ( measures of central tendency) atau ada juga yang menyebutkan dengan ukuran letak. Disebut sebagai ukuran gejala pusat karena menunjukkan letak dari pusat atau pertengahan sekumpulan data. Ukuran-ukuran itu antara lain berbagai macam rata-rata, median, modus, kuartil, desil, dan persentil.
1.Rata-rata hitung ( arithmetic mean)
Rata-rata hitung atau mean adalah seperti rata-rata yang telah kita kenal dalam pembicaraan sehari-hari, yaitu jumlah datri suatu data dibagi denga banyaknya data. Rata-rata hitung itu untuk sampel biasanya dinyatakan dengan symbol ¯X dan untuk populasi biasanya dengan symbol (dibaca myu).
Secara lebih jelas penggunaanya akan kita hadapi dalam bab yang lain.
a.mencari rata-rata untuk data yang tidak dikelompokkan
data itu ada yang dikelompokkan dan ada yang tidak. Kalau jumlah data sedikit biasanya tidak perlu dikelompokkan, Tetapi kalau jumlah datanya banyak biasanya dikelompokkan, disesuaikan dalam distribusi frekuensi.
Perhitungan rata-rata yang tidak dikelompokkan itu sederhana saja, yaitu dengan menjumlah semua data yang ada dibagi dengan banyaknya data, atau kalau dinyatakan dengan rumus sebagai berikut:

¯X=(∑_(i=1)^n▒X_i )/n
Dalam hal ini :
∑ = tanda jumlah
n = banyaknya data
X_i = besarnya tiap-tiap data\


Rumus diatas dapat pula diuraikan sebagai berikut :


¯X = (X_(1+ ) X_(2+X_(3+ )…..X_(n ) ))/n
Contoh : berat 5 orang atlit yang mengikuti suatu pertandingan adalah sebagai berikut :
59 kg, 62 kg, 60 kg, 65 kg, 55 kg.
Rata-rata berat badan atlit itu adalah
(59+62+60+65+55)/5= 60,2 KG
Apabila dari beberapa kumpulan data masing-masing sudah diketahui rata-ratanya secara keseluruhan kita tidak perlu menghitung dari data aslinya, melainkan cukup dihitung memakai rata –rata yang telah ada itu. Sebagai contoh kita hitung rata-rata secara menyeluruh dari rata-rata gaji tiap kelompok pegawai sebagai berikut.
Tabel 3.1
Rata-Rata Gaji Satu Bulan Untuk Setiap Kelompok
Pegawai Suatu Perusahaan
Macam pegawai Jumlah pegawai Rata-rata gaji
Staf ahli
Kepala bagian
Kepala seksi
Mandor
buruh 5
5
10
15
30 250.000
125.000
80.000
50.000
30.000
Rata-rata dari gaji semua karyawan pada perusahaan itu dapat kita cari dengan rumus :
¯X= n_(1 X ̅_(1+) n_(2 X ̅_(2+ n_(3 X ̅_(3+) ) ) ) )/(n_(1+ ) n_(2+ ) n_(3+ ) n_(4+ ) )

b. mencari rata –rata hitung untuk data yang dikelompokkan
data yang sudah dikelompokkan biasanya disusun dalam distribusi frekuensi. Sudah barang tentu data yang dikelompokkan itu akan kehilangan keasliannya, tiap-tiap data sudah dimasukkan ke dalam kelas yang sesuai, yang ada tinggal kelas dan frekuensi saja. Oleh karena itu dalam perhitungan ini kita gunakan anggapan bahwa semua data terletak pada class mark yaitu pertengahan suatu kelas. Sebagai contoh didalam perhitungan ini kita menggunakan distribusi frekuensi yang telah dipakai dimuka:
Tabel 3.2.
Besarnya Penjualan, Class Mark Dan Frekuensi
Dari 80 Langganan Suatu Perusahaan,
Untuk Menghitung Rata-Ratanya.
Besarnya penjualan (000) Class mark (X_i) Jumlah langganan (f_i)
5 - 9.99
10 - 14,99
15 - 19,99
20 - 24,99
25 - 29,99
30 - 34,99
35 - 39,99 7,495
12,495
17,495
22,495
27,495
32,495
37,495 6
12
19
20
13
8
2
Dalam tabel ini ternyata class mark kelas I = 7,495 dengan frekuensi 6, kelas II class marknya 12,495 denga frekuensi 12 dan seterusnya. Maka rata-rata dapt kita cari dengan rumus sebagai berikut:



¯X=(∑_(i=1)^k▒X_(ifi ) )/(∑_(i=1)^k▒f_i )
k= jumlah kelas

Perhitungan kita diatas memang kurang relative dibanding kalau menghitung rata-ratanya dari tiap-tiap data secara individual (seperti dalam data yang tidak dikelompokkan), tetapi menghitungnya lama sekali dan perbedaanya tidak begitu banyak.kalau kita cari denga rumus yang dimasukkan data satu persatu ( seperti ) dalam data yang tidak di kelompokkan ) maka rata-ratanya (mean) ada 21,05 ( Rp 21.050,00) sedang kalau dihitung dengan rumus kita di atas ( dalam data yang dikelompokkan ) rata-ratanya ada 20,87 ( Rp 20.870,00), permintaan ini relative kecil dibanding dengan besarnya rata-rata.
Perhitungan yang kita lakukan tadi agak sulit dan menjemukan, lebih-lebih kalau class marknya besar dan bilanganya pecahan.untuk mempermudahkan dan mempercepat maka skalanya dirubah, dari skala biasa menjadi skala d yang satunya bulat, yaitu 1,2,3 dan sebagainya . unutk lebih menjelaskan perbedaan skala X (class mark) dengan skala d.
Gambar 3.1
Skala X dan skala d

skala d
-3 -2 -1 0 1 2 3
Pada kelas yang berada tepat ditengah diberi nilai 0, kelas kelas sebelumnya berturut-turut diberi nilai -1, -2, -3, sedang kelas sesudahnya berturut-turut diberi nilai 1, 2, 3. Kalau banyaknya kelas genap tidak ada kelas yang tepat ditengah. Setelah kita rubah skalanya maka besarnya rata-rata dapat kita cari denga rumus:
¯X= C. ¯d+ X_(0 )
C = class interval
X_(0 )= class mark dengan skala X pada kelas yang nilai d nya = 0. Sedang ¯d dapat kita cari dengan rumus

¯d = (∑_(f=1)^k▒〖d_i f_i 〗)/n
Dalam hal ini d_i adalah class mark denga skala baru (d) . dengan menggabungkan kedua rumus diatas akan diperoleh rumus sbb:

¯X= (C. ∑_(i=1)^k▒〖d_i f_i 〗)/n + X_0
Rumus ini merupakan rumus yang pendek dan mudah, hasilnya sama saja. Apabila data dalam tabel 3.2 didepan kita hitung rata-ratanya denga memakai rumus ini maka seperti terlihat dalam tabel 3.3





Tabel 3.3
menghitung rata-rata dengan skala d
class mark volume penjualan frekuensi f d.f
dengan skala X dengan skala d
7,495 -3 6 -18
12,495 -2 12 -24
17,495 -1 19 -19
22,495 0 20 0
27,495 1 13 13
32,495 2 8 16
37,495 3 2 6
80 26

X ̅ = (5(-26))/80 + 22,495
= - 1, 625 + 22,495
= 20,87
Rata-rata volume penjualan itu ada 20.870,00 sama dengan hasil perhitungan didepan.
Rata-rata adalah nilai atau ukuran yang sudah diketahui oleh setiap orang, hanya ada satu rata-rata untuk kelompok data. Adapun kelemahan dari rata-rata ini adalah kalau data terendah sangat kecil dan data tertinggi sagan besar maka sering menimbulkan salah penafsiran , misalnya rata-rata dari umur kelima orang sebagai berikut:
15 tahun, 16 tahun, 17 tahun, 80 tahun, 75 tahun .
Rata-ratranya adalah : ( 15+ 16 + 17 + 80 + 75) : 5 = 40,6
Median
Median adalah nilai yang letaknya ditengah atau rata-rata dari dua nilai yan berada ditengah kalau datanya genap, setelah data itu diurutkan sesuai dengan besar kecilnya.

Mencari median untuk data yang tidak dikelompokkan
Untuk data yang tidak dikelompokkan didalam mencari median data hrus diurutkan sesuai denga besar kecilnya ( dari kecil kebesar atau sebaliknya) . kemudian letak media ndapat dicari denga ( n + 1) : 2. Contoh data 6, 7, 10, 11, 14
Maka mediannya ( 5+1):2 =3 jadi mediannya bilangan ke tiga yaitu 10. Tetapi apabila bilangannya genap maka dijumlahkan kemudian dibagi 2. Contoh
4, 6, 9, 10, 11, 18
Median = ( 9+10);2
= 9,5
Mencari median untuk data yang dikelompokkan
Untuk mencari median pertama –tama kita tentukan dulu letak median denga rumus n/2 ( tidak sam dengan letak median yang tidak dikelompokkan) . kemudian dihitung frekuensi kumulatifnya kurang dari). Setelah itu besarnya median dapat dicari dengan rumus.
Med = L + C j/f_m
Med = median
L = class boundary bawah dari kelas yang mengandung median
C = class interval
J = selisih antara letak median dengan frekuansi kumulatif pada kelas sebelum terdapat median
f_m = frekuensi pada kelas yang terdapat median

Sebagai contoh kita cari median dari data yang kita pakai di depan :
Tabel 3.4
Distribusi Frekuensi Dan Frekuensi Kumulatif
Untuk Menghitung Median
Jumlah penjualan frekuensi Frekuensi kumulatif
5 - 9,99
10 - 14,99
15 - 19,99
20 - 29,99
30 - 34,99
35 - 39,99 6
12
19
20
13
8
2 6
18
37
57
70
78
80
80
Jumlah datapada tabel 3.4 itu ada 80, maka letak median pada data yang ke 80:2 = 40 ; terletak pada kelas IV. Frekuensi kumulatif pada kelas sebelum kelas median (kelas III) ada 37. Class boundary bawah pada kelas terdapat median ( kelas IV) sebesar 19,995)
Med = 19,995+ 5 ((40-37))/20
= 19,995+ 0,75
= 20,745
Cara lain untuk mencari median sbb:
Med = U - Cj^"/f_m
U= class boundary atas dari kelas yang mengandung median
j^"= selisih antara frekuensi kumulatif pada kelas terdapat median dengan letak median.

Med = 24,995 - 5((57-40))/20
= 24,995- 4.25
= 20,745
Ternyata hasilnya sama dengaperhitungan sebelumnya.
Modus ( mode)
Modus adalah nilai (sifat yang paling banyak terjadi, yaitu yang frekuensinya terbesar . untuk data kuantitatif ,modus adalah nilai yang paling banyak terjadi sedangkan untuk data kualitatif modus adalah sifat atau keadaan yang paling banyak terjadi.
Mungkin sekelompok data mempunyai satu modus ( disebut unimodal), mungkin dua modus (bimodal), atau lebih.
Mencari modus untuk data yang tidak dikelompokkan
Untuk menghitung modus data yang tidak dikelompokkan maka kita cari data yang frekuensinya paling banyak. Misalnya dalam dATA sebagai berikut: 61, 63, 63,63,68, 70, 72, 75, 76, 76, 80, 80, 81. Dala mdata tersebut ternyata bilangan yang terjadi paling banyak adalah 63, yaitu ada 3 kali sedangkan yang lainnya ada 1 dan 2. Oleh karena itu modusnya hanya satu sebesar 63. Adapun contoh dari data yang mempunyai dua modus adalah:
53, 55, 55, 55, 60, 62, 64, 69, 69, 72, 72, 75.
Ternyata modus dari data diatas ada dua ; yaitu 55 dan 69.

Mencari modus untuk data yang dikelompokkan
Untuk data yang dikelompokkan maka modus akan terketak pada kelas yang frekuensinya paling banyak. Kalau didalam gambar letak modus sesuai dengapuncak kurva.
Gambar 3.3
Letak modus pada kurva

Untuk menghitung modus secara cepat dapat digunakan rumus sbb :
= L_1+ ∆1/(∆1+∆2)C
L_1= class bourdary bawah dari kelas terdapatnya modus
∆1= selisih antara frekuensi kelas terdapatnya modus degna frekuensi kelas sebelumnya.
∆2= selisih antara frekuensi kelas terdapatnya modus degna frekuensi kelas sesudahnya
C = class interval
Sebagai contoh, kita cari modus dari data yang sudah disusun dalam distribusi frekuensi dulu, sbb: ( lihat tabel 3.5)
Tabel 3.5
Distribusi Frekuensi Untuk
Menghitung Modus
Volume penjualan Jumlah langganan
5 - 9,99
10 - 14,99
15 - 19,99
20 - 29,99
30 - 34,99
35 - 39,99 6
12
19 ∆1 = 20-19 =1
20 ………..kelas modus
13 ∆2 = 30-13 = 7
8
2
Class boundary bawah = 19,995, maka
Modus = 19,995 + 1/(1+7)5 = 19,995 + 5/8 = 20,62

Rata-rata ukur
rata-rata ukur adalah akar ke n ( Jumlah data) dari perkalian data-data yan ada, atau dapat dicari dengan rumus sebagai berikut:
Rata-rata ukur = √(n&〖X_(1.).X〗_(2.) X_(3.) X_(4…………L_1 ) X_n )
Rata-rata ukur ini biasanya digunakan untuk mencari rata-rata persentase kenaikan. Contoh:
Suatu perusahaan pada tahun 1976 menperoleh laba Rp 25.000,00 pada tahun 1977 Rp 50.000,00 dan tahun 1978 Rp 400.00,00. Laba padatahun 1977 ada dua kali laba tahun 1976 dan laba tahun 1978 ada 8 kali laba taun 1977. Apabila rata-rata kelipatan kenaikan itu kita cari denga rata-rata biasa ( rata-rata hitung) maka rata-rata kenaikan itu menjadi
( 2 + 8 ) : 2 = 5 kali.
Kalau rata-rata kenaikan laba itu 5 kali berarti apabila laba tahun tahun Rp 25.000,00 maka laba tahun 1977 kia-kira 5 kali Rp 25.000 = 125.000 dan perkiraan laba tahun 1978 = 5 x 125.000 = 625.000 rata –rata ini menghasilkan perkiraan laba pada tahun 1977 dan 1978 yang jauh menyimpang dari kenyataan. Oleh karena itu untuk mencari rata-rata persentase atau kelipatan kenailan itu sebaiknya digunakan rata-rata ukur.
Rata-rata ukur = √(2x 8) = √16 = 4
Dengan demikian maka diperkirakan keuntungan tahun 1977 menjadi 4x 25.000 = 100.000 dan perkiraan keuntungan tahun 1978 menjadi 4 x 100.000 =400.000 . ternyata perkiraan keuntungan denga rata-rata ukur kenaikan itu lebuh mendekati kenyataan dari pada dengan rata-rata hitung kenaikannya, atau denga kata lain oenyimpangan dari kenyataanya lebih kecil.
Apabila jumlah data yang ada itu banyak, maka cara perhitungan diatas sulit digunakan , untuk mempermudah digunakan bentuk rumus dan perhitungan denga memakai logaritma , sehingga rumusnya sebagai berikut:

Dalam cara ini yang pertama-tama dieroleh dari hasil perhitungan dalam rumus diatas adalah log G . untuk mencari G ( rata-rata ukur) maka harus kita cari anti logaritmanya. Sebagai contoh misalnya kita akan mencari rata-rata ukur dari indek berantai harga suatu barang mulai tahun 1974 sampai dengan tahun 1978 sbb:
107, 116, 120, 122, 125

Untuk mempermudah maka kita hiutng dulu:
Log 107 = 2,0294
Log 116 = 2,0645
Log 120 = 2,0792
Log 122 = 2,0864
Log 125 = 2,0969

Log G = 10,3564/5= 2,0713
G = 117,84
Rata-rata ukur ini selalu digunakan untuk menghitung bilangan –bilangan positif. Kalau ada data aslinya turun maka dapat dinyatakan dengan kelipatan kuran dari 1, misalnya laba tahun 1978 Ada 0,65 dari laba tahun 1977 berarti labanya turun.
Rata-rata harmonis
Rata-rata harmonis adalah merupakan banyaknya data dibagi dengan jumlah satu per tiap0tiap data atau dengan rumus sbb:
Sebagai contoh dalam menggunakan rata-rata harmonis misalnya kita mempunyai uang Rp 1.200 akan dibelikan telor ayang denga harga setiap butir Rp 30 disamping itu mempunyai uang RP 1.200 yang akan dibelika ntelor itik yang harganya 4 butir Rp 40. Rata-rata harga telor yang dibeli itu setiap butir tidak ( 30+40) : 3 tatapi dena uang Rp 1.200 kita biasa memperoleh telot ayam 40 butir dan dengan uang Rp 1.200 yang kedua dapat membeli 30 butir telur itik. Sehingga harga rata-rata telur setiap butir = ( 2.400) : 70 = 34,29 . rata-rata harga telur ini secara lebih cepat dihitung dengan rata-rata harmonis:
Rata-rata harmonis = 2/(1/30+1/40 )
= 34,29
Rata-rata tertimbang
Adalah rata-rata yang memperhatikan tingkat penting atau tidaknya macam hal yang dirata. Biasanya weight ( timbagan) yang digunakan dalam kuantitasnya. Contoh: sebuah toko menjual beras kualitas I 400 kg denga harga @ 225,00 beras kualitas II 300 kg denga harga 200,00 dan kualitas III 200 kg denga harga 175,00. Rata-rata harga beras tiap kg nya bukannya ( 225,00+ 200+ 175 ) : 3 tetapi
Rata-rata tertimbang = (( 400x 225)+( 300x200)+ ( 200x 175))/(( 400+300+200))
= 205,56



Kuartil
Yang dimaksud denga kuartil adalah nilai –nilai yang membagi data dalam 4 bagina yang sama. Kuartil itu ada 3, yaiutu kuartil pertama, kedua dan ketiga. Adapun cara ,mencarinya hampir sama dengan mencari median, perbedaannya pada letak kuartil.
Mencari kuartil untuk data yang tidak dikelompokkan
Letak kuartil dapat dicari sebagai berikut:
Kuartil ke -1 letaknya pada bilangan ke (n+1)/4
Kuartil ke 2 letaknya pada bilangan ke (n(n+1))/4….sama denga letak median
Kuartil ke 3 letaknya pada bilangan ke (3(n+1)/4
Contoh: misalnya ada data kelompok sbb:
22, 24, 24, 25, 26, 27, 27, 28, 29, 30, 31
Jumlah data ada 11, sehingga: letak kuartil ke-1 pada bilangan ke (11+1)/4 = bilagan ke-3. Bilangan ke-3 besarnya 24, sehingga kuartil ke-1 adalah 24. Kuartil ke-2 sama dengan median (2(11+1))/4 = bilangan ke 6. Besarna kuratil ke-2 = 27. Kuartil ke-3 pada bilangan ke (3(11+1))/4 = bilangan ke 9. Besarnya 29

Mencari kuartil pada data yangdikelompokkan
Letak kuartil ke-1 terletak pada bilangan ke n/4 kuartil kedua terletak pada bilangan ke (2(n))/4 kuartil ke-3 terletak pada bilangan (3(n))/4
Asapun untuk menghitung besarnya kuartil dapat digunakan rumus sebagai berikut:
Kuartil ke-1 K_1= L_(K_1 )+ C j_1/f_(K_1 )
Kuartikl kedua sama dengan median.
Kuartil ke-3 K_3 = L_(K_3 ) +Cj_3/f_(K_3 )
Ket:
L_(K_1 )= class bourdary bawah dari kelas terdapatnya kuartil ke-1
L_(K_3 )= class bourdary bawah dari kelas terdapatnya kuartil ke-3
j_1 = selisih antara letar kuartil ke-1 dengan frekuensi kumulatif pada kelas sebelum kelas terdapatnya kuartil ke-1
j_3 = selisih antara letar kuartil ke-3 dengan frekuensi kumulatif pada kelas sebelum kelas terdapatnya kuartil ke-3
f_(K_1 ) = frekuensi pada kelas terdapatnya kuartil ke-1
f_(K_3 ) = frekuensi pada kelas terdapatnya kuartil ke-3
Contoh:
Tabel 3.6
Contoh Perhitungan Kuartil Untuk Data Dikelompokkan
Bessarnya penjualan Jumlah langganan Frekuensi kumulatif
5 - 9,99
10 - 14,99
15 - 19,99
20 - 29,99
30 - 34,99
35 - 39,99 6
12
19
20
13
8
2 6
18
20 letak K₁
37
57
60 letak K₃
70
78
80
80
Maka:
Kuartil ke-1 K₁ = 14,995 + 5 ((20-18))/19 = 15,52
Kuartil kedua sama dengan median
Kuartil ke-3 K₃ = 24,995 + 5 (( 60-57))/13 = 26,15
Desil dan persentil
Desil adalah bilangan yang membagi data menjadi 10 bagian yang sama, sedang persentil adalah bilangan, yang membagi data menjadi 100 bagian yang sama. Dalam sekelompok data ada 9 desil dan 99 persentil. Cara mencari desil dan persentil sama dengan cara mencari median dan kuartil, yang membedakan hanya letaknya saja.