statistik 7

Bab VII
TIME SERIES
Pendahuluan
Di dalam perencanaan kegiatan-kegiatan pada masa akan datang kita sering mengunakan data-data pada masa-masa yang telah lalu.berdasarkan data itu kita buat proyeksi keadaan tahun-tahun yang akan datang didasarkan atas penjualan sejak 10 tahun yang lalu. Hal ini disebabkan karena apa yang akan terjadi itu akan mempunyai pola perubahan seperti tahun-tahun yan telah lalu. Atau dengan kata lain apa yang telah tejadi itu pasti akan terulang kembali dengan sesuatu tingkat yang regularitas (keterangan) tertentu. Artinya yang dulu bertambah pasti akan bertambah, yang dulu musiman pasti akan musiman, yang dulu berkurang pasti akan berkurang. Analisa terhadap hal ini sering disebut dengan analisa time series.
Sifat perubahan sesuatu itu biasanya terlalu komplekm sehingga terlalu sulit untuk diperkirakan bersama-sama., karena merupakan campuran dari maccam-macam variasi. Misalnya penjualan kertas setip tahun akan selalu bertambah, disamping itu selama satu tahun penjualan setiap bulan bersifat musiman., dan dalam satu bulan pun penjualan setiap hari tidak sama, mungkin penjualan minggu-minggu pertama lebih banyak dari pada minggu-minggu terakhir. Karena sulit untuk diperkirakan bersama-sama, maka untuk lebih mudah kita kelompokkkan menjadi 4 komponen time series : trend jangka panjang, variasi musiman, variasi siklis dan variasi random. Trend jangka panjang atau trend adalah rata-rata kenaikan atau penurunan dalam jangka panjan g biasanya tiap tahun, variasi musim adalah gelombang pasang surutnya sesuatu yang berulang kembali dalam waktu tidak lebih dari satu tahun., variasi siklis adalah gelombang pasang surutnya sesuatu hal yang berulang kembali dalam waktu lebih dari satu tahun dan variasi random adalah gelombang pasang surut yang terjadi secaratiba-tiba dan biasanya sukar diperkirakan sebelumnya. Setelah kompionen- komponen itu kita dapatkan kemudian kita gabungkan lagi, sehigga bisa diperoleh ramalan yang dimaksud. Cara menggabungkannya biasanya dengan dikalikan.


Secular trend
Merupakan gerakan yang semacam dalam jangka panjang. Dengan kata lain trend merupakan data-data perubahan dalam jangka panjang . kalau variable yang dibahas itu bertambah maka trend merupakan rata-rata pertambahan, sedang kalau turun merupakan rata-rata penurunan.
Metode yang digunakan biasanya bermacam-macam antara lain : metode-metode semi averages dan least square yang merupakan trend yan bukan trend linier.
Gambar 7.1
Penjualan perusahaan ABC setiap tahun dalam ribuan rupiah
Dan garis trend mulai tahun 1974 sampai 1980


Pejualan
Dalam jutaan
rupiah trend
150

110



0 74 75 76 77 78 79 80 x (tahun)
Metode semi averages
Metode ini digunakan untuk menghitung trend linier. Caranya sederhana sekali dengan langkah-langkah sbb:
Kelompokkan data menjadi 2, kelompok pertama pada tahun-tahun awal, kel kedua pada tahun-tahun akhir. Kalau banyaknya tahun genap maka pengelompokannya mudah, tetapi kalu ganjil yang ditengah bisa diabaikan atau dihitung dua kali dimasukkan dala mdua kelompok. Di dalam contoh pada tabel 7.1 kelompok pertama pada tahun 1978 sampai 1980.
Carilah rata-rata dari tiap kelompok kemudian letakkan tiap rata-rata pada tahun pertengahan tiap kelompok. Rata-rat pada keloimpok pertama = 124 diletakkan pada tahun 1976 dan rata-rata kel ke dua 145 diletakkan pada taun 1979.
Carilah selisih tahun dari letak kedua rata-rata itu ( 1979-1976 = 3) kemudian carilah selisih dari kedua rata-rata itu.(145-124 = 21) kalau positif berarti ada kenaikan tetapi kalu negative berarti ada penurunan.
Bagian selisih rata-ata itu dengan selisih tahunya. Sehigga didapatkan rata-rata kenaikan setipa tahun. Dalam contoh = 21/3 = 7
Nilai ternd diatas pada tahun pertengahan kelompok sama dengarata-rata pada kel yang bersangkutan. ( nilai trend 1976 = 124 dan 1979 =145 ). Nilai trend pada tahun-tahun yan lain dapat dicari denga menambah nilai trend pertengahan kelompok itu dengan rata-rata kenaikan untuk setiap satu tahun sesudahnya, dan kurang kan bila satu tahun sebelumnya. Misalnya nilai trend 1977 = 142 + 7 = 131 , tahun 1978 = 131 + 7 = 138, tahun 1975 = 124 -7 = 117.
Kalau kita meramalkan ( membuat forecast) tinggal menambahkan rata=rata kenaikan untuk setiap perbedaan satu tahun kemudian, tahun kemudian, sampai denga tahun yang dimaksud . misalnya tahun 1981 sebesar nilai trend 1980 ( 152 ) ditambah rata-rata kenaikan (5) = 159, untuk tahun 1981 sebesar 159 + 7 =166
Tabel 7.1
Mencari trend linier dengan
Metode semi averages
tahun Penjualan( dalam jutaan) Rata-rata tiap kelompok Nilai trend
1975
1976
1977
1978
1979
1980 112
125
135
140
145
150

372/3=124…….

435/3=145……. 117
124
131
138
145
152

Metode least square
cara mencari
metode yang paling banyak digunakan adalah metode least square. Disebut least square karena dengan metode ini akan memperoleh garis trend yang mempunyai jumlah terkecil dari kuadrat selisih data dengan garis trend ( ∑ ( Y –Y’)² minimum ). Lihat gambar 7.2
gambar 7.2
selisih nilai trend denga penjulan tiap tahun
penjualan dlm
ribuan rupiah
trend Y = a + bX



0 74 75 76 77 78 79 80 x (tahun)
Garis yang kita cari adalah Y’ = a+ bX . Y’ adalah taksiran dan X adalah skala dari tahun. Biasanya yang ditengah diberi nilai X = 0. Tahun-tahun sebelumnya berturt-turut dikurangi satu ( sehingga negatif) sedang tahun-tahun sesudahnya di tambah satu (sehigga positif) . lihat gambar 7.3. untuk mencari besarnya a dan b biasanya digunakan rumus sbb:
Y = n.a + b ∑X
XY = a. ∑X + b ∑ X²
Dalam hal ini:
Y = penjualan setiap tahun
X = skala tahun dengan tahun yang ditengah 0



Gambar 7.3
Skala X
1974 1975 1976 1977 1978 1979 1980 tahun skala X
-3 -2 -1 0 1 2 3
Nilai x seperti pada gambar 7.3 diatas mempunyai jumlah =o . oleh karena itu rumus umum diatas dapat dirubah menjadi:
Y = n.a + b (0) ………a = (∑Y)/n
XY = a (0) + b X²…….b = (∑XY)/(∑X²)
Langkah-langkah untuk menghitungnya adalah sbb:
susunlah data sesuai denga urutan tahun dan letakkan nilai X nya sesuai dengan tahunnya. dilihat dalam tabel 7.2
hitung nilai XY dan X² kemudian carilah jumlah Y, jumlahkan XY dan X². carilah a dengan rumus ( ∑Y)/ hasilnya 131 dan b dengan rumus (∑XY)/(∑X²) hasilnya = 7,18.
Tabel 7.2
Menghitung jumlah Y, jumlah XY, dan jumlah X²
Untuk menghitung trend dan nilai trend
Penjualan perusahaan ABC , data 1974- 1980
tahun Penjualan(Y) X XY X² Y’
1974
1975
1976
1977
1978
1979
1980 110
112
125
135
140
145
150 -3
-2
-1
0
1
2
3 -330
-224
-125
0
140
290
450
9
4
1
0
1
4
9 109,46
116,64
123,82
131,00
138,18
145,36
152,54
917 0 201 28 28

masukkan nilai a dan b pada persamaan linier sehingga dapat diperoleh persamaan trend
Y ‘ = 131 + 7,18X
( Y penjualan setiap tahun, satuan X= satuan tahun, origin tahun 1977)
Pada persamaan itu harus ditambahkan keterangan yang menyebutkan : Y menunjukkan variable apa, X apa?.

Setelah mengetahui persamaan trend nya maka kita bisa cari trend tiap-tiap tahun denga melakukan substitusi nilai X pad tahun –tahun yang dimaksud, misalnya :
1974 ( nilai X = -3 ) Y’ = 131 + 7,18 ( -3) = 109,46 dan seterusnya.hasilnya tampak pada tabel 7.2
Kalau kita akan membuat focecast pada tahun-tahun yang akan datang maka substitusikan nilai X pada tahun yang bersangkutan . misalnya tahun 1981 berarti X = 4 dan 1982 nilai X =5
1981 Y’ = 131 + 7, 18 ( 4) = 159,72
1982 Y’ = 131 + 7,18 ( 5) = 166,90
Lihat gambar 7.4
Gambar 7.4
Skala X tengah tahunan karena
Banyaknya tahun genap
1973 1974 1975 1976 1977 1978 1979 1980 tahun skala X
-7 -5 -3 -1 0 1 -3 -5 -7
Sebagai contoh kita lihat tabel 7.4 sbb:
Tabel 7.4
Menghitung least square trend dari
Penjualan PT ARJUNA
tahun Penjualan(Y) X XY X² Y’
1973
1974
1975
1976
1977
1978
1979
1980 80
84
90
95
110
115
121
125
-7
-5
-3
-1
1
3
5
7 -560
-420
-270
-95
110
345
605
875
49
25
9
1
1
9
25
49 88,48
91,97
95,48
98,99
106,01
109,52
113,03
116,54

820 0 590 168


a = 820/8 = 102, 50
b = 590/168 = 3,51
jadi persamaan trend nya
Y’ = 102, 50 + 3,51X

Merubah bentuk persamaan trend
Y persamaan trend yang kita buat didepan menyatakan penjualan setiap tahun , sedang satuan X untuk contoh pertama satu tahun dan untuk contoh kedua setengah tahun. Persamaan ini bisa dirubah sbb:
Memindah origin
Y menjadi dalam rata-rata persatuan waktu tertentu, misalnya rata-rata perbulan , per kuartal dan sebagainya, biasanya disebut trend rata-rata.
Y menjadi berubah (bertambah atau berkurang) setiap satuan waktu tertentu misalnya setiap bulan , setiap kuartal , disebut trend bulanan atau kuartalan.

Tahun yang merupakan origin dapat kita pindah , didalam memindah origin yang kita ganti hanya a-nya . nilai a yang baru sebesar nilai trend pada tahun yang menjadi origin baru itu.misalnya dalam contoh didepan menggunakan origin tahun 1977 kalau oigin kita rubah menjadi tahun 1979 maka a nya sebesar nilai trend yang bau menjadi.
Y’ 145,36 + 7,,18X

Trend rata
Dalam persamaan trend tahunan kalau ingin dibuat menjadi persamaan trend rata-rata tiap bulan dilakukan dengan : a dibagi 12 dan b dibagi 12, kalau akan di jadikan trend rata-rata tiap kuartal baik a maupun b masing- masing dibagi 4. Kalau disubstitusikan nilai x pada tahun yang bersangkutan maka akan didapatkan nilai trend (Y’) yang merupakan trend rata-rata. Sebagai contoh kita ubah persamaan trend tahunan ( dalam contoh least square yang pertama)
Y’ = 131+ 7,18 X
( Y penjualan satu tahun , satuan X satu tahun origin 1977)
Akan diubah menjadi trend rata-rata tiap kuartal:
Y’ = 131/4 + 7,18/4X
Y’ = 32, 75 + 1,795 X
( Y rata penjualan tiap kuartal, satuan X satu tahun, origin 1977)
Kalau kita cari trend rata-ratanya :

1974 = 32,75 + 1,795 ( -3) = 27, 365
1975 = 32,75 + 1,795 ( -2) = 29, 160
Dan seterusnya.
Kalau unit X dari persamaa yang akan kita ubah itu ½ tahun maka untuk merubah menjadi trend rata-rata tiap bulan a dibagi 12 dan b dibagi 6, sedang kalau diubah dalam trend kuartalan a dibagi 4 dan b dibagi dua (awas origin diantar dua tahun).
Persamaan trend bulanan dan kuartalan
Trend bulanan adalah trend dari bulan satu ke bulan berikutnya, menunjukkan perkiraan kenaikan atau perubahan setiap bulannya. Jadi bukan dari tahun satu ketahun lainnya. Sedangkan trend kuartal adalah trend yang menunjukkan perubahan dari kuartal ke kuartal. Kalau akan merubah persaaan trend tahunan yang satuan X satu tahun menjadi bulanan maka a dibagi 12 dan b dibagi 12², sedang kalau akan diubah menjadi trend kuartalan maka a dibagi 4 dan b dibagi 4² . kalau dari persamaan tahunan yang satuan x-nya setengah tahun maka kalau akan diubah menjadi trend bulanan a dan b dibagi (12²)/2 , sedangkan kalau akan diubah menjadi trend kuartal a dibagi 4 dan b dibagi (4²)/2.
Misalnya persamaan trend dalam contoh pertama metode least Sequare kita ubah menjadi persamaan trend kuartalan. Persamaan menjadi:
Y’ = 131/4 + 7,18/4X
Y’ = 32, 75 + 1,795 X
( Y penjualan dalam satu tahun , satuan X satu kuartal , origin pertengahan kuartalan II-III 1977).
Karena origin terletak pada pertengahan kuartal II dan III tahun 1977 maka kalau akan mencari nilai trend tahun 1977 substitusikan X = -1/2 dan untuk tahun 1978 X = ½. Kuartal IV X = 1 ½ dan kuartal I tahun 1978 X = 2 1/2 . lihat tabel 7.4. perhatikan satuan X menunjukka nsatuan kuartal.
Tabel 7.4
Skala X untuk trend kuartalan
kuartal I kuartal II kuartal III kuartal IV
1977 : X -1 1/2 - 1/2 1/2 1 1/2
Y' pada origin
1978 : X 2 1/2 3 1/2 4 1/2 5 1/2
Sehingga nilai trend kuartalnya menjadi :
1977 kuartal I = 32,75 + O,45 ( - 1,5) = 32,08 ( dibulatkan)
Kuartal II = 32,75 + 0,45 ( -0,5 ) = 32,53 dan seterusnya
Untuk mencari kuatal seperti diatas agak sulit jadi biasanya di ubah menjadi kuartal terdekat misalnya kita ubah originnya menjadi kuartal II 1977 maka a-nya diganti denga nilai trend pada kuartal II, sebesar 32, 53 ; sedangkan b-nya tetap. Persamaanya sbb:
Y’ = 32,53 + 0,45X
( Y penjualan satuan kuartal , satuan X =1 kuartal, origin kuartal II 1977)
Denga sendirinya skala X-nya juga kita ubah menjadi seprti pad tabel 7.5




Tabel 7.5
Nilai X kuartalan origin berubah

kuartal I kuartal II kuartal III kuartal IV
1977 -1 0 1 2
1978 3 4 5 6
Sehingga nilai trend kuartalan dapat dicari dengan persamaan yang sudah diubah originnya denga nilai X baru, sbb:
1977 kuartal I Y’ = 32,53 + 0,45 (-1) = 32,08
Kuartal II Y’ = 32,53 + 0,45 ( 0) = 32,53 dan seterusnya

Trend parabolic
Bentuk persamaan trend selalu linier. Kalau distribusi datanya mendekati parabola lebih tepat kalau dibuat bentuk persamaan trend yang polynomial tingkat dua atau parabolic, dengan bentuk persamaan sbb:

Y’ = a + bx + cX²

Kalau untuk mencari persamaan itu kita gunakan metode least square maka kita usahakan agar ( Y’-Y) minimum. Untuk menghitung a, b dan c digunakan persamaan sbb:
∑Y = na + b∑X + c∑X²
∑XY = a∑X + b∑X² + c∑X³
∑X²Y = a∑X² + b∑X³ + c∑X⁴
Dengan memakai ketiga persamaan itu kita bis mencari a, b,c denga lebih cepat, tetapi yang paling cepat ddapat dihitung adalah b, sedangkan a dan c harus dicari dengan eliminasi dari dua persamaan yang lain . sebagai contoh kita kerjakan trend parabolic seperti yang terlihat pada tabel 7.6
Tabel 7.6
Menghitung trend parabolic
tahun Penjualan produk P (Y) X XY X² X²Y X⁴ Y’
1974
1975
1976
1977
1978
1979
1980 180
190
205
210
200
195
185 -3
-2
-1
0
1
2
3 -540
-380
-205
0
200
390
555 9
4
1
0
1
4
9 1.620
760
205
0
200
780
1.665 81
16
1
0
1
16
81 182,77
193,58
201,77
203,08
201,77
196,42
187,03
1.365 0 20 28 5.230 196

b = 20/28=0,71
1.356 = 7a + 28 c x 4
5.230 = 28a + 196 c

5.460 = 28a + 112 c
5.230 = 28a + 196 c -
230 = - 84 c
C = 230/(-84) = -2,74
Substitusikan nilai pada persamaan 1.365 = 7a + 28c;
1.365 = 7a + 28 ( 2,74); 7a = 1.441,72 sehingga a = 205,96
Persamaan trend parabolic menjadi
Y’ = 205,96 + 0,71 X – 2,74X²



3. variasi musiman
Adalah gelombang yang naik turunya atau bertambah atau berkurangnya sesuatu yang berulang kembali dalam waktu tidak lebih dalam satu tahun. Misalnya penjualan kertas pada awal tahun ajaran baru meningkat, penjualan paying pada musim hujan dll. Biasanya variasi musiman ini dinyatakan dalam indeks musimana.
Untuk mengkitung indeks musiman
Ada berbagai macam metode tetapi disini kita menggunakan metode rata-rata sederhana.
Sebagai contoh kita buat variasi musim dalam kartal dari data yang dipakai untuk menyusun least square trend pada tabel 7.2 yang sudah diperinci dalam kuartal , seperti tabel 7.7.
Adapun langkah –langkah sbb:
Susunlah data tiap kuartal ( atau bulan sesuai dengan kebutuhan ) untuk masing-masing tahun, kuartal ke bawah dan tahun ke kanan.
Carilah rata-rata tiap kuartal pada tahun 1974 -1980 seperti pada kolom 8
Karena rata-rata itu masih mrngandung unsure kenaikan (trend ) maka hilangkanlah pengaruh trend ini dengan menguranginya dengan pada tabel 7.7. persamaan trend kuartal ( 0,45) secara kumulatif , seperti pada kolom 9, dan sisanya ( kolom 8-kolom 9) adalah kolom 10
Carilah rata-rata dari kolom 10, yaitu 128, 30/4 = 32,075
Nyatakanlah rata-rata angka pada kolom 10 sebagai persentase dari rata-rata , kita dapatkan indeks musim sbb;
Kuartal I = 21/32,075 x 100 = 65,47
Kuartal II = 26,55/32,075 x 100 = 82,77
Kuartal III = 44,10/32,075 x 100 = 137,49
Kuartal IV = 36,65/ 32,075x 100 = 114,26

Penggunaan indeks musim untuk forecasting
Kalau kita akan menbuat suatu forecasting (ramalan pada tiap=tiap periode ( kuartal, bulan da nsebagainya) kalikanlah trend pada periode tersebut dengan indeks musiman. Contoh pada tabel 7.7
Tabel 7.7
Menghitung indeks musim dengan metode rata-rata sederhana
1974 1975 1976 1977 1978 1979 1980 rata-rata b. kumulatif sisa(kol 8- kol 9) indeks musim
kuartal I 20 21 27 18 25 23 25 21 0,00 21,00 65,47
kuartal II 25 24 27 26 30 27 30 27 0,45 26,55 82,77
kuartal III 35 42 40 47 45 50 56 45 0,90 44,10 137,49
kuartal IV 30 25 43 44 40 45 39 38 1,35 36,65 114,26
110 112 125 135 140 145 150 128,30

Tabel 7.8
Penggunaan indeks musim dalam forecasting

Nilai trend Indeks musim Forecast ( dalam jutaan)
kuartal I 37,48 65,47 24,54
kuartal II 37,93 82,77 31,39
kuartal III 38,38 137,49 52,77
kuartal IV 38,83 114,26 44,37


Variasi siklis
Adalah perubahan atau gelombang pasang surut sesuatu hal yan berulang kembali dalam waktu lebih dari satu tahun ( kebanyakan antara 5 sampai 10 tahun) . sebagai contoh konjungtur.
Time series merupakan gabungan dari 4 komponen: trend (T) , variasi musim(M), variasi siklis ( S) dan variasi random ®, cara menggabungkannya biasanya degan perkalian sbb:
Time series = T x M x S x R
Contoh kita cari indeks siklis dari penjualan perusahaan ABC dalam kuartal pada tahun 1977 dan 1978. Adapun langkah-langkahnya sbb:
Susunlah data tiap kuartal ke bawah ( lihat tabel 7.9)
Carilah nilai trend tiap kuartal mensubstitusikan nilai-nilai x sesuai dengan kuartal dan tahun yang bersangkutan, substitusikan X = -1 pada kuartal I, 0 pada kuartal II, I pada kuartal III tahun 1977 dan seterusnya pada persamaan Y’ = 32,53 + 0,45X. hasilnya pada kolom 2
Cantumkanlah indeks musim pada kolom 3
Kalikanlah trend ( dalam kolom 2) dengan indeks musim (pada kolom 3 dalam persen) hasilnya disebut normal seperti pada kolom 4
32,08 x 65,47 = 21
32,53x 82,77 = 26,93 dan seterusnya
Kolom lima diperoleh ddari data (pada kolom I) dibagi dengan normal (kolom 4) dikalikan 100.
( T x M x S x R )/( Tx M) = S x R
Untuk menghilangkan pengaruh perubahan random carilah jumlah tertimbang bergerak dari kolom 5. Misalnya kita gunakan weight 1,2,1, (biasanya dipakai koefisien binomial), artinya kita jumlahkan data selama 3 kuartal dengan weight : kuartal sebelumnya 1, kuartal yang bersangkutan 2 dan kuartal sesuadahnya 1.
Jumlah tertimbang bergerak : tahun 1877
Kuartal I = 85,71( 1) + 96,55 ( 2) = 103,66 (1) = 392,47
Kuartal II = 96,55( 1) + 103,66( 2) = 115,18 (1) = 419,05 dan seterusnya

Hitunglah rata-rata bergerak tertimbang , caranya angka-angka pada kolom 6 dibagi dengan jumlah timbangannya ( 1+ 2 + 1 = 4 ) hasilnya
Merupakan rata-rata tertimbang bergerak.

Variasi random
Adalah gelombangpasang atau surutnya sesuatu hal yang biasanya terjadi secara tiba-tiba dan sukar di perkirakan . misalnya disebabkan Karena pengaruh gempa bumi, wabah, perang dan sebagainya. Biasanya ini diperkirakan degan memakai rata-rata. Misalnya waktu terjadinya rata-rata beberapa tahun sekali , rata-rata pengaruhnya seberapa dan sebagainya.