statistik 5

BAB V
UKURAN KECONDONGAN
DAN UKURAN RUNCINGNYA SUATU DISTRIBUSI
Bentuk –bentuk distribusi
Seperti yang telah dibicarakan di muka, biasanya kelas-kelas yang berada di tengah suatu distribusi frekuensi itu mempunyai frekuensi yang besar, sedang yang berada di tepi mempunyai frekuensi kecil. Demikian pula kalau distribusi itu kita gambarkan , maka pada kelas-kelas di tengah diagramnya akan tinggi, sedang pada kelas yang terletak di tepi gambarnya rendah, seperti terlihat pada gambar 5.1. bentuk seperti ini biasanya disebut seperti bentuk bel, karena mirip dengan bel atau loncenga yang di telungkupkan. Tidak semua data itu kalau digambarkan bentuknya seperti lonceng, ada yang tinggi di tepi seperti pada gambar 5.2 biasanya disebut denga hentuk J karena bentuknya menyerupai J . adapun yang gambarnya rendah di tengah, sering disebut bentuk U, karena menyerupai bentuk huruf U, seperti huruf 5.3

Pada data yang normal gambar distribusi yang berbentuk bel ini biasanya simetris, artinya kalau diagram itu dibelah ditengah maka besar dan bentuk belahan bagian kiri akan mirip degan besar dan bentuk belahan bagian kanan.
Kecuali bentuk diagram dari distribusi yang simetris ada yang condong kekiri dan ada juga yang condong kekanan. Untuk mengukur tingkat kecondongan atau simetris tidaknya suatu distribusi dapat kita gunakan koefisien kecondongan atau coefficient of skewness.
Pada distribusi yang normal atau yang diagramnya simetris besarnya mean sama dengan median dan modus; di dalam gambar; ketiga ukuran gejala pusat itu berimpit . pada distribusi yang tidak normal.





Gambar 5.1 gambar 5.2
Gambar distribusi yang gambar distribusi bentuk J
berbentuk bel







Gambar 5.3
Gambar distribusi yang
Berbentuk U






(Gambarnya tidak simetris ) besarnya mean tidak sama dengan median dan tidak sama denga modus. Pada distribusi semacam ini apabila datanya cukup banyak berlaku ketentuan sbb:
Modus – median = 2 ( median – mean)
Atau
Mode = 3( median ) – 2 ( mean)
Hubungan mean dengan median dan modus dapat dilihat pada gambar 5.4
Gambar 5.4
Letak mean, median dan modus






Mode med mean
Disamping mengukur kecondongannya, kita juga bisa mengukurtingkat runcing atau tumpulnya diagram auatu distribusi, dengan mencari korfisien peakedness atau kurtosisnya.
Ukuran simetris atau condongnya suatu kurva
Untuk mengukur simetris atau condingnya suatu kurva kitacgunakan koefisien skewness, yang dapat dihitung dengan rumus pearson sbb:
Sk = (mean-mode)/(deviasi standar)

Dengan mendasarkan atas hubungan antara mean, median dan modus di atas maka rumus skewness itu dapat berubah menjadi sbb:
Sk = (3(mean-median))/(deviasi standar)
Setelah kita ketahui besarnya koefisien skewness maka untuk menetukan gambar dari distribusi itu condong ke kiri, condong ke kanan atau simentris didasarkan atas ketentuan sbb:
Bila koefisien skewness itu positif mean melebihi median dan mode, maka diagram distribusinya condong kekiri atau kekanan ekornya di sebelah kanan ; seperti ada gambar 5.5
Bila koefisien skewness itu negative itu negative berarti mean kurang dari median dan mode, berarti kurva itu condong ke kanan atau kekiri ekornya disebelah kiri , seperti padagambar 5.6
Bila koefisien skewness itu besarnya sama dengan 0 berarti mean = median= modus , maka kurva itu simetris, seperti pada gambar 5.7
Gambar 5.5 gambar 5.6
Kurva condong kekiri condong ke kanan




Contoh
Gambar 5.7
Kurva simetris





Suatu distribusi yang satu mempunyai mean = 55, median = 50 dan deviasi standar = 7. Adapun distribusi kedua mempunyai mean = 47, median = 51 dan deviasi standar = 3. Maka koefisiensi skewness bila dihitung denga rumus pearson adalah sbb:
Distribusi pertama: Sk = (3( 55-50))/7 = 15/7 = 2,14
Distribusi kedua : Sk = (3(47-51))/3 = (-12)/3 = -4
Sehingga distribusi pertama b=gambarnya condong ke kiri, sedang distribusi kedua condong ke kanan.
Disamping mengunanakan rumus pearson, untuk menentukan kocondongan suatu distribusi dapat pula kita gunakan α₃ , yaitu rata-rata penyimpangan data-data dari mean, dipangkatkan tiga, dibagi degan deviasi standar pangkat 3. Da[at dinyatakan dengan rumus sbb:
α₃ = (1/n ∑_(i=1)^k▒〖(X_(i- μ)³ ) 〗)/α³
untuk data yang dikelompokkan
α₃ = (1/n ∑_(i=1)^k▒〖(X_(i- μ)³fi ) 〗)/α³ ket : μ = rata-rata mean
dengan memakai skala d maka α₃ untuk data yang dikelompokkan dapat dicari dengan rumus short cut sbb:

α₃ = C³/σ³[(∑_(i=1)^k▒d_(i³fi ) )/n- 3( (∑_(i=1)^k▒d_(i²fi ) )/n) ((∑_(i=1)^k▒d_(ifi ) )/n)+2((∑_(i=1)^k▒d_(i^3 fi ) )/n)³]
contoh sbb:


Tabel 5.1
Menghitung Α₃
kelas fi di di fi di²²fi di³fi
0-9
10-19
20-29
30-39
40-49
50-59 5
20
15
45
10
5 -2
-1
0
1
2
3 -10
-20
0
45
20
15 20
20
0
45
40
45 -40
-20
0
45
80
135
100 50 200

α₃ = 10/100 √(100(170)- (50)²)
= 12 ( dibulatkan)
α₃ = 10³/12³ [ 200/100 - 3 ( 170/100) (50/100) + 2 ( 50/100)³]
= - 0, 17
Berarti distibusi condong kekanan.
Ukuran keruncingan distribusi
Untuk mengukur runcing atau tumpulnya suatu distribsi biasanya digunaka α₄.

α⁴ = (1/n ∑_(i=1)^k▒〖(X_(i- μ)⁴ ) 〗)/(α⁴)
untuk data yang dikelompokkan
α⁴ = (1/n ∑_(i=1)^k▒〖(X_(i- μ)⁴ .fi) 〗)/(α⁴)




atau rumus short cut
α⁴ = (C⁴)/(σ⁴)[(∑_(i=1)^k▒d_(i⁴fi ) )/n- 4( (∑_(i=1)^k▒d_(i³fi ) )/n) ((∑_(i=1)^k▒d_(ifi ) )/n)+6((∑_(i=1)^k▒d_(i^(^2 ) fi ) )/n)((∑_(i=1)^k▒d_(²fi ) )/n)-3 ( (∑_(i=1)^k▒d_(i^² fi ) )/n)⁴]

untuk menetukan apakah diagram / distribusi itu runcing atau tumpul maka kita gunakan ketentuan sbb:
Apabila α₄ > dari 3 berarti diagram distribusi itu runcing, disebut leptokurtic, seperti pada gambar 5.8
Apabila α₄ < dari 3 maka diagram dari distribusi itu landai atau tumpul, disebut platycurtic, seperti gambar 5.9
Apabila α₄ = 3 maka diagram dari distribusi itu berbentuk bel dan normal, tidak terlalu runcing dan tidak terlalu tumpul.
Gambar 5.8 gambar 5.9
Leptokurtic platycurtic




Apabila data tabel 5.1 itu kita hitung α₄- nya maka perlu kita cari dulu d⁴-nya seperti pada tabel 5.2




Tabel 5.2
Menghitung D⁴ Untuk Mencari Α₄
kelas fi di d⁴fi
0-9
10-19
20-29
30-39
40-49
50-59 5
20
15
45
10
5 -2
-1
0
1
2
3 80
20
0
45
160
405
710

α4 = (10⁴)/(12⁴) [ 710/100 - 4 ( 200/100) (50/100) + 6 ( 170/100) ( 50/100)²- 3( 50/100)⁴]
= 2, 63
Maka diagram data itu tumpul, karena α4 = 2,63 lebih kecil dari 3