statistik 2

BAB II
DISTRIBUSI FREKUENSI
1. PENDAHULUAN
Di dalam statistic deskriftif kita mengusahakan aga data dapat di sajikan dalam bentuk yang lebih berguna; lebih mudah dipahami dan lebih cepat dimengerti. Kalau ada data yang ada hanya sedikit mudah membacanya, tetapi kalau datanya banyak sekali maka membacanya akan sukar dan memerlukan waktu yang lama. Untuk memudahkan dan mempercepat memahaminya maka data yang ada lebih teratur di dalam distribusii frekuensi, bisa juga dihitung nilai-nilai statisticnya dan dibuat diagramnya.
Yang disebut sebagai distribusi frekuensi adalah suatu daftar yang membagi data yang ada kedalam beberapa kelas. Kita mengenal dua macam distribusi frekuensi yaitu:
1. Distribusi frekuensi numerical adalah distribusi yang pembagian kelas-kelasnya dinyatakan dengan angka-angka, atau secara kuantitatif
2. Distribusi frejuensi catergorical adalah distribusi frekuensi yang pembagian kelas-kelasnya berdasarkan atas macam-macam data, atau golongan data yang dilakukan secara kualitas.
Contoh dari kedua macam distribusi frekuensi itu seperti terlihat pada table 2.1 dan 2.2.
Table 2.1
Distribusi Frekuensi Numerical
Umur pegawai pada PT garuda
Umur pegawai
20 - 29.9
30 - 39.9
40 - 49.9
50 - 59.9 Jumlah pegawai
7
20
15
5


Table 2.2
Distribusi Frekuensi Numeric
Hasil penjualan toko arbin, 1978
Macam-macam barang dagangan Jumlah penjualan
Beras
Kacang tanah
Kedelai
jagung 575
250
432
157

2.PENYUSUNAN DISTRIBUSI FREKUENSI
Penyusunan distribusi frekuensi dapat dilakukan melalui tahap-tahap sebagai berikut:
a. Menentukan jumlah kelas
Kita tentukan jumlah kelas untuk mengelompokkan data yang ada. Dalam menentukan jumlah kelas ini bebas, data bisa dibagi dalam 5 kelas, 10 kelas atau berapa saja sesuai dengan kebutuhan dan banyak sedikitnya penyebaran data. Saja satu cara menentukannya bisa dilakukan dengan menggunakan rumus sturge, yang di bentuknya sebagai berikut:
k = 1 + 3,3 log n
dalam hal ini
k= banyaknya kelas
n= jumlah data yang kita miliki
jadi apabila jumlah data ada 100 maka jumlah kelas = 1 + 3.3 l0g 100 = 1 + 3,3 ( 2) = 7,6 kalau dinulatkan menjadi 8. Sebagai contoh untuk penyusunan distribuso frekuensi ini kita gunakan data penjualan suatu perusahaan sebagai berikut:
besarnya penjualan yang dilakukan suatu perusahaan terhadap 80 langganan pada suatu bulan masing-masing sebagai berikut : ( dalam ribuan rupiah)*)
21,36 5,45 19,84 29,34 10,85 34,82 19,71 20,84
10,37 22,50 32,50 18,40 22,49 17,50 12,25 11,50
33,55 19,87 20,63 6,12 12,72 24,15 36,90 23,81
18,25 26,70 24,25 31,12 7,83 11,95 17,35 33,82
26,,43 12,73 8,89 19,50 17,84 26,42 22,50 5,57
24,97 37,81 27,16 23,35 25,15 34,75 13,84 23,05
14,67 24,81 15,95 27,48 21,50 16,44 24,61 10,00
27,49 17,75 31,84 18,75 26,80 21,75 28,40 22,46
24,76 15,10 23,11 30,26 16,30 18,64 9,36 17,89
17,45 28,50 13,52 21,50 14,59 14,59 29,30 29,65

K = 1 + 3,3 log 80
K = 1 + 3,3 ( 1,9031)
K = 7,280….( dibulatkan menjadi 7)
b. Mencari range
Yang disebut range adalah jarak antara data terkecil sampai denga data terbesar, atau sama dengan selisih data terkecil dengan data terbesar. Pada data diatas data terbesar = 37,81 dan data terkecil = 5,45 oleh karena itu range sebesar 37,81- 5,45 = 32, 36 dibulatkan menjadi 32

c. Menentukan panjang kelas
Panjang kelas dapat dihitung dengan range dibagi jumlah kelas. Kalau range ada 32 dan banyaknya kelas ada 7 maka panjang kelas ada 32: 7 = 4,57 dibulatkan menjadi 5

d. Menentukan kelas
Dalam menentukan kelas semua data harus bisa masuk. Data terkecil harus bisa masuk dala mkelas pertama dan data terbesar harus bisa masuk ke kelas terakhir. Untuk data diatas untuk kelas pertama bisa kita mulai dengan angka 5, kalau panjang kelas ada 5 maka kelas ke dua dimulai dengan 10,kelas ketiga dimulai dengan 15 dan seterusnya. Dapat terlihat dalam tabel 2.3
Tabel 2.3
Penentuan Kelas-Kelas Yang Kurang Tepat

Kelas ke Penjualan ( dama ribuan rupiah)
I
II
III
IV
V
VI
VII 5-10
10-15
15-20
20-25
25-30
30-35
35-40
PEMBAGIAN kelas seperti tersebut di atas bisa menimbulakan kekacauan, sebab kalau ada data yang besarnya tepat 10 maka data itu dimasukkan di kelas I dan II, oleh karena itu untuk menghindari kekacauan maka batas kelas untuk tiap-tiap kelas itu kita buat sedikit dibawah batas bawah kelas sebelumnya. Karan data yang kita miliki itu satuannya sampai dua agka dibelakang koma, maka bata diatas kelas pertama menjadi 9,99 , batas atas kelas II sebesar 14,99 dan seterusnya. Dapat dilihat [ada tabel 2.4
Tabel 2.4
Penentuan Kelas Yang Baik

Kelas ke Penjualan ( dama ribuan rupiah)
I
II
III
IV
V
VI
VII 5-9,99
10-14,99
15-19,99
20-24,99
25-29,99
30-34,99
35-39,99
Tetapi untuk kepentingan praktis kadang kadang penyajiannya seperti pada tabel 2.3 dengan anggapan data yang sebenarnya 10 masuk kelas kedua, 15 masuk kelas ketiga dan sebagainya.

e. Mencari frekuensi tiap-tiap kelas
Frekuensi tiap-tiap kelas terlebih dahulu dapat dihitung dengan memakai tanda garis tiap ada data yang masuk di dalamnya. Misalnya dalam contoh kita data pertama sebesar 21,36 maka pada kelas IV diberi tanda( /) data kedua sebesar 10,37 maka pada kelas II diberi tanda (/). Dan seterusnya. Ini dapat dilihat pada tabel 2.5
Tabel 2.5
Perhitungan Frekuensi Untuk Tiap Kelas

Kelas ke Besar penjualan (dalam ribuan rupiah) tanda Jumlah langganan (frekuensi)
I
II
III
IV
V
VI
VII 5-9,99
10-14,99
15-19,99
20-24,99
25-29,99
30-34,99
35-39,99 //// /
//// //// //
//// //// //// ////
//// //// //// ////
//// //// ///
//// ///
// 5
12
19
20
13
8
2







3.NAMA BAGIAN DALAM DISTRIBUSI FREKUENSI
a. Class limits
Kelas limits adalah batas-batas kelas. PaDA CONTOH kita seperti tabel 2.3 batas-batas kelas I adalah batas kelas bawah 5 sedang batas kelas atasnya 9,99 . untuk kelas dua batas kelas bawah 10, sedang batas kelas atasnya 14,99.
b. Frekuensi
Ferekuensi adalah jumlah data untuk tiap- tiap kelas. Jadi untuk kelas I frekuensinya ada 6, kelas II ada 12 dan seterusnya.

c. Class boundary
Adalah pertengahan antara batas atas suatu kelas atau kelas bawah kelas ke sesudahnya. Class boundary antara kelas I dan II adalah : 9,995. Class boundary antara kelas II dan III sebesar 14,995 dan seterusnya.
Sebagai akibat dari penentuan besarnya kelas batas atas suatu kelas sedikit dibawah batas bawah kelas sesudahnya maka terdapat jarak atau kekosongan antara kelas satu dengan yang lain. Misalnya antara kelas I dan kelas II terdapat kekosongan ( antara ) dari 9,99 sampai dengan 10. Perbedaan ini kecil tetapi untuk perhitungan –perhitungan tertentu tidak boleh diabaikan. Untuk mengatasi kekosongan itu maka dipakailah class boundary.

Gambar 2.1
Letak class limits Dan class boundary

5 9,99 10 14,99 15

9,995 14,995


d. Class mark
Adalah pertengahan tiap-tiap kelas atau rata-rata antara kelas batas kelas bawah dengan batas kelasa atas suatu kelas.
Untuk kelas I class mark = ( 5 + 9,99) : 2 = 7,495
Untuk kelas II class mark = ( 10 + 14, 99) : 2 = 12,495

e. Class interval
Adalah perbedaan antara suatu kelas boundary dengan class boundary sebelumnya. Dalam contoh diatas kelas intervalnya ada 5, yaitu = 14,995 – 9,995 atau = 19,995 – 14,995.

f. Kelas terbuka
Adalah kelas yang tidak ada batasnya, misalnya pada kelas IV dalam distribusi frekuensi pada tabel 2.6.




Tabel 2.6
Distribusi Frekuensi Yang Mempunyai
Kelas Terbuka
Umur Nasabah Bank “ Xyz”

Umur nasabah ( tahun) Jumlah nasabah
15 - 29,9
30 - 44,9
45 - 59,9
60 atau lebih 15
28
20
10



4. MACAM-MACAM DISTRIBUSI FREKUENSI
Disamping distribusi frejuensi yang dijelaskan didepan, masih ada lagi beberapa macam bentuk distribusi frekuensi sbb:
a. Distribusi frekuensi relative
Adalah distribusi frekuensi yang frekuensinya tidak dinyatakan dalam angka absolute tetapi frekuensi tiap-tiap kelas dinyatakan dalam angka relative atau dalam persentase dari jumlah frekuensi semua kelas yang ada. Sebagai contoh seperti telihat pada table 2.7 yang menunjukkan distribusi frekuensi relative dari data dalam contoh-contoh di depan.
Table 2.7
Distribusi Frekuensi Relative
Volume penujualan( dalam Rupiah) Perentase jumlah langganan ( dalam %)
5-9.99
10-14,99
15-19,99
20-24,99
25-29,99
30-34,99
35-39,99 7,50
15,00
23,75
25,00
16,25
10,00
2,50

b. Distribusi frekuensi kumulatif
Yang dimaksud dengan Distribusi frekuensi kumulatif adalah distribusi frekuensi yang secara berturut-turut dan bertahap memasukkan frekuensi pada kelas-kelas lain. Ada dua macam distribusi frekuensi kumulatif yaitu distribusi frekuensi kumulatif kurang dari dan distribusi frekuensi kumulatif atau lebih.
1. distribusi frekuensi kumulatif kurang dari
distribusi frekuensi kumulatif kurang dari adalah distribusi frekuensi yang memasukkan frekuensi pada kelas-kelas sebelumnya. Bila contoh di atas kita susun kedalam distribusi frekuensi kumulatif kurang dari maka seperti terlihat pada tabel 2.8

Tabel 2.8
Distribusi Frekuensi Kumulatif Kurang Dari
Besarnya penjulan ( dalam ribuan rupiah) Jumlah langganan
Kurang dari 5
Kurang dari 10
Kurang dari 15
Kurang dari 20
Kurang dari 25
Kurang dari 30
Kurang dari 35
Kurang dari 40 0
6
18
37
57
70
78
80
Untuk menghitung frekuensi kumulatif kita jumlahka,n frekuensi-frekuensi kelas-kelas sebelumnya pada distribusi frekuensi biasa. Misalnya untuk kelas ketiga = 6 + 12 = 18,
Untuk kelas keempat = 6+ 12 + 19 = 37 dan seterusnya.

2. Distribusi frekuensi kumulatif (atau lebih)
Distribusi frekuensi kumulatif atau lebih adalah distribusi frekuensi yang memasukkan frekuensi pada kelas-kelas sesudahnya. Contoh distribusi frekuensi di depan dapat kita susun dalam distribusi freuensi kumulatif atau lebih, seperti telihat pada tabel 2.9
Tabel 2.9
Distribusi Frekuensi Kumulatif Atau Lebih
Besarnya penjualan ( dalam ribuan rupiah) Jumlah langganan
5 atau lebih
10 atau lebih
15 atau lebih
20 atau lebih
25 atau lebih
30 atau lebih
35 atau lebih
40 atau lebih 80
74
62
43
23
10
2
0

Distribusi frekuensi kumulatif relatif
Distribusi frekuensi kumulatif relative adalah distribusi relative yang frekuensinya dinyatakan secara relative, baik kumulatif kurang dari maupun kumulatif ata ulebih. Sebagai contoh kita susun data di atas ke dalam distibusi frekuensi relative kurang dari, seperti terlihat dalam tabel 2.10
Tabel 2.10
Distribusi Frekuensi Kumulatif
Ralatif Kurang Dari
Besarnya penjualan ( dalam ribuan rupiah) Persebtase banyaknya langganan( dalam %)
Kurang dari 5
Kurang dari 10
Kurang dari 15
Kurang dari 20
Kurang dari 25
Kurang dari 30
Kurang dari 35
Kurang dari 40 0
7,50
22,50
46,25
71,25
87,50
97,50
100,00


5. MEMBUAT GAMBAR
Dalam data yang sudah disusun dalam distribusi frekuensi diatas dapat digambarkan dalam bentuk histogram, polygon curva dan ogive, sebagai berikut:
a. histogram
untuk memudahkan dan memepercepat dalam memahami keadaan data, maka biasanya digambarkan ke dalam grafik atau diagram. Dengan melihat gambar secara sepintas lalu saja, kita sudah bisa mengetahui keadaan data. Gambar yang paling banyak digunakan untuk menjelaskan distribusi frekuensi adalah histogram. Histogram adalah gambara n mengenai suatu distribusi frekuensi, untuk setiap kelas dinyatakan dalam skala horizontal sedang frekuensinya dinyatakan dalam sksla vertical.
skala horizontal dapat memakai class boundaries seperti dalam gambar 2.2 dapat : memakai kelas limits seperti dalam bambar 2.3 atau dapat pula memakai angka yang mudah dan relative bulat yang mendekati, seperti pada gambar 2.4.
frekuensi

20

15

10

5

4,995 9,995 14,99 19,995 24,995 29,995 34,995 39,995

Gambar 2.4
Histogram Dengan Skala Hirisontal
Class Limits



Gambar 2.4
Histogrsm Dengan Skala Horizontal
Angka Bulat Yang Terdekat



Mengaambarkan histogram seperti di atas mudah saja karena panjang kelas sama semuanya. Andaikan panjang kelas itu tidak sama maka harus diadakan penyesuaian supaya tidak menimbulkan salah penapsiran. Penyesuaian itu adalah : apabila panjang suatu kelas dua kali lebih panjang dari pada kelas yang lain maka kelas histogram pada kelas itu kita bagi dua., apabila panjang suatu kelas tiga kali lebih panjang dari kelas yang lain maka tinggi kelas pada kelas itu kita bagi tiga dan seterusnya. Sebagai contoh misalnya distribusi frekuensi yang kita pakai dalam contoh padapembicaraan di depan kita rubah dengan menggabungkan kelas IV dan kelas V, maka frekuensi pada kelas IV menjadi 20+ 13 = 33 dan distribusi frekuensi itu akan tampak seperti dalam tabel 2.11
Tabel 2.11
Distribusi Frekuensi Dengan Kelas IV Dua Kali Kelas-Kelas Yang Lain

Besarnya penjualan ( dalam ribuan rupiah) Jumlah langganan

5-9,99
10-14,99
15-19,99
20-29,99
30-34,99
35-39,99 6
12
19
33
8
2

Kalau distribusi frekuensi itu kita gambarkan tanpa diadakan penyesuaian, maka histogramnya seperti telihat pada gambar 2.5
Gambar 2.5
Histogram Distribusi Frekuensi Yang Kelas-Kelasnya Tidak Sama, Tanpa Penysuaian



Pada gambar 2.5 itu panjang kelas ke IV dua kalilebih panjang daripada yang lain., kalau tinggi histogram sesuai dengan frekuensinya saja , maka bagian histogram pada kelas IV menjadi luas sekali.oleh karena itu itnggi histogram harus dibagi 2 supaya bagian histogram pada kelas itu tidak berlebih-lebihan. Seharusnya histogramnya seperti yang terlihat pada gambar 2.6




Gambar 2.6
Histogram Dari Distribusi Frekuensi Yang
Kelas-Kelasnya Tidak Sama, Dengan Penyesuaian.



b. Frekuensi polygon
Frekuensi polygon adalah gambar yang menjelaskan distribusi frekuensi yang dinyatakan dengan garis-garis lurus yang menghubungakan titik-titik yang letaknya sesuai dengan class mark dan frekuensi tiap-tiap kelas.
Untuk menlengkapi gambar dari polygon ini biasanya sebelumnya kelas pertama dan sesudah kelas terakhir ditambah saatu kelas denga frekuensi 0. Sehingga polygon itu dimulai dari sumbu histogram dan terakhir juga pada sumbu hirisontal.





Gambar 2.7
Frekuensi polygon



Kelemahan histogram dan polygon adalah kedua-duanya tidak bisa digunakan untuk mengambarkan distribusi frekuensi denga kelas terbuka. Dan untuk menggambarkan. Distribusi yang kelas-kelasnya tidak sama harsus dilakukan penyesuaian.

c. Kurva
Kurva adalah gambar dari distribusi frekuensi yang dinyatakan dalam garis lengkung, yang kurang lebih sama denga luas histogram. Dalam mengambarkan kurva ini lebih fleksibel daripada menggambarkan histogram dan polygon sehingga garisnya merupakan satu lengkung. Contoh kurva seperti terlihat pada gambar 2.8 dengan data pada contoh di muka.



Gambar 2.8
Kurva



d. Ogive
Adalah semacam polygon tetapi digunakan untuk menggambar distribusi frekuensi kumulatif. Sumbu vertical menyatakan sumbu horisontalnya tidak menyatakan class mark tetapi menyatakan kelas-kelasnya dari distribusi frekuensi itu ( kurang dari maupun atau lebih) contoh dari ogive ini dapat terlihat dalam gambar 2.9 dengan data contoh dimuka









Gambar 2.9
Ogive Distribusi Frekuensi Kumulatif
Kurang Dari